Топ-100
Indietro

ⓘ Combinatoria. Con il termine combinatoria si intende il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici che soddisfano proprietà ben defi ..




Combinatoria
                                     

ⓘ Combinatoria

Con il termine combinatoria si intende il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici che soddisfano proprietà ben definite e tendenzialmente semplici.

                                     

1. Cenni storici

Problemi combinatori sono stati studiati fin dallantichità, ma la combinatoria come area consistente della matematica è stata riconosciuta solo nellultimo cinquantennio. Un primo testo che ha dato peso alla combinatoria è dovuto a Netto. La combinatoria ha raggiunto una certa autonomia dopo la pubblicazione del testo Combinatory Analysis di Percy Alexander MacMahon nel 1915. La sua importanza è cresciuta gradualmente negli anni successivi: sono da ricordare i testi di König sulla teoria dei grafi e di Marshall Hall.

Il suo sviluppo ha ricevuto impulso dallopera di Gian-Carlo Rota, che a partire dagli anni 1960, ha contribuito alla fondazione di teorie unificatrici di ampia portata e di grande chiarezza formale. Unaltra figura influente è stata quella di Marcel-Paul Schützenberger. Unazione diversa ma molto efficace si deve a Paul Erdős e alla sua capacità di porre e risolvere problemi, i suoi contributi riguardando soprattutto problemi estremali.

                                     

2. Descrizione generale

Un aspetto di primaria importanza in questi studi riguarda lenumerazione delle configurazioni: per alcuni esempi di questa problematica si vedano ad esempio fattoriale, coefficiente binomiale, numeri di Catalan e la successione di Fibonacci. Un altro aspetto fondamentale della combinatoria è quello algoritmico: innanzi tutto la conoscenza delle caratteristiche combinatorie di un tipo di configurazioni è essenziale per individuare i meccanismi che consentano di manipolarle; inoltre ogni algoritmo può essere oggetto di indagini combinatorie, come quelle di natura enumerativa richieste per valutare la sua efficienza v. complessità degli algoritmi. Lo schema di classificazione MSC2000 per i documenti della ricerca matematica dedica esplicitamente la sezione di primo livello caratterizzata dalla sigla 05-XX. È utile segnalare le sezioni di secondo livello della combinatoria, insieme alla relativa sigla e al numero delle sezioni di terzo livello loro attribuite:

  • 05Bxx Disegni e configurazioni 12
  • 05Dxx Combinatoria estremale 5
  • 05Exx Combinatoria algebrica 8
  • 05Axx Combinatoria enumerativa 11
  • 05Cxx Teoria dei grafi 38

Si trovano però problemi di natura combinatoria in moltissimi settori della matematica: nella teoria degli insiemi, nelle teorie delle strutture algebriche con assiomi deboli, nella teoria dei campi, nella teoria dei gruppi, nella geometria proiettiva, nelle geometrie finite, nello studio delle configurazioni geometriche convesse, nello studio dei politopi e dei poliedri, nello studio delle funzioni speciali, nello studio dei sistemi dinamici, nella teoria della probabilità, nella teoria della ottimizzazione, nella teoria dei giochi. Una considerazione particolare merita il collegamento fra combinatoria e studio degli algoritmi cui si è già accennato e per il quale vanno ricordati anche i metodi per il calcolo simbolico automatico e la computer algebra. I collegamenti fra la combinatoria e ciascuna delle aree suddette sono stretti e articolati: le relazioni di dipendenza non forniscono buoni chiarimenti, ma risulta invece più opportuno considerare gli stimoli e gli aiuti reciproci che si sviluppano tra queste aree.

Anche quando si esce dalla matematica per scorrere le discipline scientifiche, tecnologiche ed umanistiche si incontra una varietà di problematiche combinatorie. Per queste è necessario un elenco anche più esteso dei precedenti:

  • Problemi di trasporto e di logistica,
  • Ricerca operativa, ottimizzazione e pianificazione,
  • Telecomunicazione, codici autocorrettori e crittologia,
  • Teorie quantistiche e fisica delle particelle elementari,
  • Biologia molecolare,
  • Chimica combinatoria,
  • antropologia e archeologia.
  • Meccanica statistica e fisica della materia,
  • Lessicografia e linguistica,
  • Modelli per leconomia e lorganizzazione aziendale,
  • Chimica molecolare in particolare dei polimeri,
  • Biblioteconomia,
  • Ingegneria del software e metrica del software,
  • Ingegneria strutturale,
                                     

3. Terminologia

Taluni, invece del sostantivo combinatoria preferiscono usare il sostantivo combinatorica ; mentre combinatoria si avvicina ai termini più usati in francese combinatoire, spagnolo combinatoria, combinatorica si avvicina alla combinatorics dellinglese, alla Kombinatorik del tedesco e ai termini vicini a questultimo di tante altre lingue influenzate dal tedesco v. Wiktionary; inoltre combinatorica si avvicina a sostantivi come elettronica e informatica e molti cultori del settore ritengono che la combinatorica sia da considerare una disciplina che avrà sulla società un impatto paragonabile a quello delle altre due citate. Per i corrispondenti aggettivi, invece, prevalgono decisamente combinatorio le sue flessioni.

Per gli aspetti matematici di questo settore si usa anche il termine teoria combinatoria, per sottolineare la disponibilità di un apparato teorico in grado di presentare in modo unificato i molteplici problemi di natura combinatoria ed i metodi di portata generale in grado di affrontare tali problemi. Altri viceversa preferiscono usare il termine teorie combinatorie per sottolineare il fatto che le diverse teorie disponibili, pur essendo in grado di inquadrare ampie gamme di problemi, sono comunque rivolte a tematiche circoscritte: algebra di incidenza, teoria delle matroidi, calcolo umbrale, funzioni generatrici, teorie estremali. Un termine quasi equivalente è matematica discreta, termine usato soprattutto in contrapposizione a matematica del continuo. Con il termine combinatoria, invece, questa contrapposizione non viene sottolineata, in accordo con il fatto che nello studio delle funzioni speciali i metodi combinatori in particolare quelli relativi alle funzioni generatrici e i metodi del continuo sono utilizzati complementarmente.

Un termine analogo ampiamente usato è calcolo combinatorio ; esso compare soprattutto nei capitoli iniziali dei testi di calcolo infinitesimale e delle introduzioni alla probabilità e alla statistica e riguarda una cerchia ristretta di argomenti considerati solo come preliminari degli sviluppi formali successivi. Questo calcolo combinatorio viene collocato in posizione ancillare rispetto al calcolo infinitesimale e al calcolo delle probabilità, ma questa ancillarità viene oggi recisamente rifiutata dai cultori della combinatoria. Molti di loro affermano invece la essenzialità di molti sviluppi della loro area, una sua raggiunta autonomia e anche una certa primarietà delle sue problematiche.

Un termine che si colloca in posizione intermedia fra calcolo combinatorio e combinatoria è analisi combinatoria.



                                     

4. Esempi

Esempi di collezioni di oggetti studiate nellambito della combinatoria sono:

  • le combinazioni con ripetizione di 5 dei primi 7 interi,
  • i quadrati magici e i quadrati latini,
  • i grafi poliedrali,
  • le permutazioni di n oggetti,
  • .

La combinatoria si propone di studiare sul piano matematico le situazioni pratiche ed i relativi problemi i cui aspetti essenziali si possono esprimere con modelli discreti. Alcuni esempi di queste situazioni sono:

  • le disposizioni dei pezzi del gioco degli scacchi su una scacchiera,
  • .
  • le disposizioni delle persone intorno ad un tavolo circolare,
  • le estrazioni di palline di colori diversi da unurna,