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ⓘ Logica intuizionista. La logica intuizionista, o logica costruttiva, è la logica dellintuizionismo matematico e di altre forme di costruttivismo matematico. Sec ..




                                     

ⓘ Logica intuizionista

La logica intuizionista, o logica costruttiva, è la logica dellintuizionismo matematico e di altre forme di costruttivismo matematico.

Secondo la prospettiva intuizionista, la logica e la matematica sono le applicazioni di metodi internamente coerenti per la realizzazione di costrutti mentali di complessità crescente. La logica intuizionista si propone come una rigorosa e formale logica matematica. Benché non sia chiaro se un calcolo logico formale esaurisca gli aspetti più spiccatamente filosofici dellintuizionismo, esso mostra delle proprietà piuttosto utili nella pratica scientifica.

                                     

1. Logica intuizionistica come paradigma del ragionamento logico

Nella logica intuizionista sono rifiutati passi epistemologicamente inadeguati nelle dimostrazioni. Nella logica classica, un asserto A significa che A è vero". Nellintuizionismo, una tale formula è considerata vera nel solo caso in cui se ne possa esibire una dimostrazione. Un esempio di questa differenza è, ad esempio, il principio del terzo escluso Tertium non datur, vedi anche principio di bivalenza: A ∨ ¬ A {\displaystyle A\vee \neg A}; questo principio è rigettato dalla logica intuizionista perché, in un linguaggio che permetta tale formula, è possibile concludere che P ∨ ¬ P {\displaystyle P\vee \neg P} senza che sia chiaro se P sia vero o falso. Nella logica intuizionista, il principio del terzo escluso significa soltanto che almeno uno tra P e ¬ P può essere dimostrato; una formulazione più forte del corrispettivo classico, che considera vera la sola disgiunzione. La tesi fondamentale è che la validità di un costrutto mentale dipenda dalla sola coerenza dellasserto nel contesto. La logica intuizionista sostituisce la nozione di verità con quella di giustificazione nel suo calcolo logico. Una dimostrazione corretta non preserva dunque la validità nel passaggio dalle premesse alle conclusioni, bensì la giustificabilità.

La logica intuizionista ha dato supporto filosofico a diverse scuole filosofiche, tra cui lantirealismo di Michael Dummett.

                                     

2. Logica intuizionistica come calcolo formale e logico

Nella pratica cè un buon motivo per usare la logica intuizionista. Nella programmazione, infatti, delle mere asserzioni di esistenza sono poco interessanti. Un programma per computer è compilato per fornire una risposta, non per affermare che ne esiste o non ne esiste una. Sarebbe infatti strano che un sistema fornisse una dimostrazione per ∃ Px ma non potesse provare Pb per qualsiasi b che non sia una variabile libera.

Una formalizzazione rigorosa della logica intuizionista richiede una teoria dei modelli ed una teoria della dimostrazione adeguate. La sintassi delle formule intuizioniste è simile alla logica proposizionale o del primo ordine. Naturalmente molte tautologie della logica classica non possono più esser dimostrate nellintuizionismo; non solo il principio del terzo escluso, ma anche la legge di Peirce ed uno dei teoremi di De Morgan.

Un altro esempio di una tautologia classica rifiutata dalla logica intuizionista riguarda leliminazione della doppia negazione. Nella logica classica, sia P → ¬¬P che ¬¬P → P sono teoremi. La logica intuizionista accetta solo il primo: la doppia negazione può essere introdotta ma non eliminata. Questo perché la nozione intuizionista di negazione è differente dal suo equivalente classico. Se la logica classica intende ¬P come P è falso, nella logica intuizionista ¬P afferma che esiste una dimostrazione che provi linesistenza di una dimostrazione di P. Lasimmetria tra le due implicazioni è evidente. Se P è dimostrabile, allora è certamente impossibile provare che non esiste una dimostrazione di P introduzione della doppia negazione; ma leliminazione della doppia negazione è intuizionisticamente insostenibile: se non cè una dimostrazione che non esiste una dimostrazione di P, non è possibile concludere che esista una dimostrazione di P. Tuttavia è possibile dimostrare una versione più debole delleliminazione della doppia negazione tale che da ¬¬¬P si concluda ¬P.

Osservare che molte tautologie classicamente valide non sono teoremi della logica intuizionista indebolisce la teoria della dimostrazione della logica classica. Gerhard Gentzen ottenne una versione più debole del suo calcolo dei sequenti LK, noto come LJ, che è una teoria intuizionisticamente sostenibile.

La semantica intuizionista è più complicata della semantica classica. Una teoria dei modelli può essere rappresentata dallalgebra di Arend Heyting o dalla semantica di Saul Kripke.

                                     
  • La logica classica è la branca della logica formale che è stata più studiata e usata. È caratterizzata da certe proprietà le logiche non - classiche sono
  • computabilità Logica della dimostrabilità Logica della interpretabilità Logica intuizionista Logica dei predicati Logica modale Logica dinamica Model
  • interpretò le formule logiche come asserzioni su costruzioni, per cui la logica intuizionista viene caratterizzata come una logica del conoscere, a differenza
  • di algebre come insiemi di valori di verità in logiche non classiche: ad esempio, la logica intuizionista sfrutta un algebra di Heyting. In teoria dei topos
  • sistemi LJ ed LK, in cui sono formalizzate rispettivamente la logica intuizionista e la logica classica. Il teorema di eliminazione del taglio stabilisce
  • provare A o la sua negazione A non è giustificata. Vedi anche: logica intuizionista L intuizionismo rifiuta anche l astrazione dell infinito attuale
  • rappresenta la differenza essenziale fra la logica positiva una logica con la sola implicazione, intuizionista come costante del linguaggio in quanto
  • proporre logiche ad infiniti valori di verità quali: la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz la cosiddetta logica fuzzy di Zadeh la logica fuzzy
  • University Press. Costruttivismo filosofia Fenomeno Idealismo Logica intuizionista Realismo filosofia Realtà Crispin Wright EN Drew Khlentzos, Challenges
  • implicazione viene trattato diversamente in logica intuizionista rispetto alla logica classica in logica intuizionista non è infatti ridefinibile utilizzando
  • Egli preferisce seguire la logica intuizionista Introduzione alla logica intuizionistica, 1977 piuttosto che la logica classica, rigettando i principi