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ⓘ Logica fuzzy. La logica fuzzy o logica sfumata o logica sfocata è una logica in cui si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità diverso da 0 e ..




Logica fuzzy
                                     

ⓘ Logica fuzzy

La logica fuzzy o logica sfumata o logica sfocata è una logica in cui si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità diverso da 0 e 1 e compreso tra di loro. È una logica polivalente, ossia unestensione della logica booleana. È legata alla teoria degli insiemi sfocati. Già intuita da Cartesio, Bertrand Russell, Albert Einstein, Werner Karl Heisenberg, Jan Łukasiewicz e Max Black, venne concretizzata da Lotfi Zadeh.

Con grado di verità o valore di appartenenza si intende quanto è vera una proprietà: questa può essere, oltre che vera = a valore 1 o falsa = a valore 0 come nella logica classica, anche parzialmente vera e parzialmente falsa.

Si può ad esempio dire che:

  • un neonato è "giovane" di valore 1
  • un diciottenne è "giovane" di valore 0.8
  • un sessantacinquenne è "giovane" di valore 0.15

Formalmente, questo grado di appartenenza è determinato da unopportuna funzione di appartenenza μ F x= μ. La x rappresenta dei predicati da valutare e appartenenti a un insieme di predicati X. La μ rappresenta il grado di appartenenza del predicato allinsieme fuzzy considerato e consiste in un numero reale compreso tra 0 e 1. Alla luce di quanto affermato, considerato lesempio precedente e unopportuna funzione di appartenenza monotona decrescente quello che si ottiene è:

  • μ F diciottenne = 0.8
  • μ F sessantacinquenne = 0.15
  • μ F neonato = 1
                                     

1. Storia

Nei primi anni sessanta, Lotfi A. Zadeh, professore allUniversità della California di Berkeley, noto per i suoi contributi alla teoria dei sistemi, cominciò ad avvertire che le tecniche tradizionali di analisi dei sistemi erano eccessivamente e inutilmente accurate per molti dei problemi tipici del mondo reale. Lidea di grado dappartenenza, il concetto divenuto poi la spina dorsale della teoria degli insiemi sfumati, fu da lui introdotta nel 1964, e ciò portò in seguito, nel 1965, alla pubblicazione di un primo articolo e alla nascita della logica sfumata. Il concetto di insieme sfumato o insieme sfocato, e di logica sfumata, attirò le aspre critiche della comunità accademica; nonostante ciò studiosi e scienziati di tutto il mondo - dei campi più diversi, dalla psicologia alla sociologia, dalla filosofia alleconomia, dalle scienze naturali allingegneria - divennero seguaci di Zadeh.

In Giappone la ricerca sulla logica sfumata cominciò con due piccoli gruppi universitari fondati sul finire degli anni settanta: il primo era guidato, a Tokyo, da T. Terano e H. Shibata, laltro si stabilì a Kanasai sotto la guida di K. Tanaka e Kiyoji Asai. Al pari dei ricercatori americani questi studiosi si scontrarono, nei primi tempi, con unatmosfera fortemente avversa alla logica fuzzy. E tuttavia la loro tenacia e il duro lavoro si sarebbero dimostrati estremamente fruttuosi già dopo un decennio: i ricercatori giapponesi, i loro studenti e gli studenti di questi ultimi produssero importanti contributi sia alla teoria sia alle applicazioni della logica fuzzy.

Nel 1974, Seto Assilian ed Ebrahim H. Mamdani svilupparono, in Gran Bretagna, il primo sistema di controllo di un generatore di vapore, basato sulla logica fuzzy. Nel 1976, la Blue Circle Cement e il SIRA idearono la prima applicazione industriale della logica fuzzy, per il controllo di una fornace per la produzione di cemento. Il sistema divenne operativo nel 1982.

Nel corso degli anni ottanta, diverse importanti applicazioni industriali della logica fuzzy furono lanciate con pieno successo in Giappone. Dopo otto anni di costante ricerca, sviluppo e sforzi di messa a punto, nel 1987 Seiji Yasunobu e i suoi colleghi della Hitachi realizzarono un sistema automatizzato per il controllo operativo dei treni metropolitani della città di Sendai. Unaltra delle prime applicazioni di successo della logica fuzzy è un sistema per il trattamento delle acque di scarico sviluppato dalla Fuji Electric. Queste e altre applicazioni motivarono molti ingegneri giapponesi ad approfondire un ampio spettro di applicazioni inedite: ciò ha poi condotto a un vero boom della logica fuzzy.

Una tale esplosione era peraltro il risultato di una stretta collaborazione, e del trasferimento tecnologico, tra Università e Industria. Due progetti di ricerca nazionali su larga scala furono decisi da agenzie governative giapponesi nel 1987, il più noto dei quali sarebbe stato il Laboratory for International Fuzzy Engineering Research LIFE. Alla fine di gennaio del 1990, la Matsushita Electric Industrial Co. diede il nome di Asai-go moglie adorata Day Fuzzy alla sua nuova lavatrice a controllo automatico, e lanciò una campagna pubblicitaria in grande stile per il prodotto fuzzy ". Tale campagna si è rivelata essere un successo commerciale non solo per il prodotto, ma anche per la tecnologia stessa. Il termine dorigine estera fuzzy fu introdotto nella lingua giapponese con un nuovo e diverso significato: intelligente. Molte altre aziende elettroniche seguirono le orme della Panasonic e lanciarono sul mercato, tra laltro, aspirapolvere, fornelletti per la cottura del riso, frigoriferi, videocamere per stabilizzare linquadratura sottoposta ai bruschi movimenti della mano e macchine fotografiche con un autofocus più efficace. Ciò ebbe come risultato lesplodere di una vera mania per tutto quanto era etichettato come fuzzy: tutti i consumatori giapponesi impararono a conoscere la parola fuzzy ", che vinse il premio per il neologismo dellanno nel 1990. I successi giapponesi stimolarono un vasto e serio interesse per questa tecnologia in Corea, in Europa e, in misura minore, negli Stati Uniti, dove pure la logica fuzzy aveva visto la luce.

La logica fuzzy ha trovato parimenti applicazione in campo finanziario. Il primo sistema per le compravendite azionarie a usare la logica sfumata è stato lo Yamaichi Fuzzy Fund. Esso viene usato in sessantacinque aziende e tratta la maggioranza dei titoli quotati dellindice Nikkei Dow, e consiste approssimativamente in ottocento regole. Tali regole sono determinate con cadenza mensile da un gruppo di esperti e, se necessario, modificate da analisti finanziari di provata esperienza. Il sistema è stato testato per un periodo di due anni le sue prestazioni in termini di rendimento hanno superato lindice Nikkei Average di oltre il 20%. Durante il periodo di prova il sistema consigliò sell ", ossia "vendere", ben diciotto giorni prima del Lunedì Nero 19 ottobre 1987: nel corso di quel solo giorno lindice Dow Jones Industrial Average diminuì del 23%. Il sistema è divenuto operativo nel 1988.

Il primo chip VLSI Very Large Scale Integration dedicato alla computazione dinferenze fuzzy fu sviluppato da Masaki Togai e H. Watanabe nel 1986: chip di tal genere sono in grado di migliorare le prestazioni dei sistemi fuzzy per tutte le applicazioni in tempo reale. Diverse imprese sono state costituite allo scopo di commercializzare strumenti hardware e software per lo sviluppo di sistemi a logica sfumata. Allo stesso tempo, anche i produttori di software, nel campo della teoria convenzionale del controllo, cominciarono a introdurre pacchetti supplementari di progettazione dei sistemi fuzzy. Il Fuzzy Logic Toolbox per MATLAB, ad esempio, è stato presentato quale componente integrativo nel 1994.

                                     

2. Concetti fondamentali

Nel 1994 Zadeh scriveva:

La teoria degli insiemi fuzzy costituisce unestensione della teoria classica degli insiemi poiché per essa non valgono i principi aristotelici di non-contraddizione e del terzo escluso detto anche "tertium non datur". Si ricorda che, dati due insiemi A {\displaystyle A} e ¬ A {\displaystyle \neg A} non-A, il principio di non-contraddizione stabilisce che ogni elemento appartenente allinsieme A {\displaystyle A} non può contemporaneamente appartenere anche a ¬ A {\displaystyle \neg A} ; secondo il principio del terzo escluso, daltro canto, lunione di un insieme A {\displaystyle A} e del suo complemento ¬ A {\displaystyle \neg A} costituisce luniverso del discorso.

In altri termini, se un qualunque elemento non appartiene allinsieme A {\displaystyle A}, esso necessariamente deve appartenere al suo complemento ¬ A {\displaystyle \neg A}.

Tali principi logici conferiscono un carattere di rigida bivalenza allintera costruzione aristotelica, carattere che ritroviamo, sostanzialmente immutato e indiscusso, sino alla prima metà del XX secolo, quando lopera di alcuni precursori di Zadeh in primis Max Black e Jan Łukasiewicz permette di dissolvere la lunga serie di paradossi cui la bivalenza della logica classica aveva dato luogo e che essa non era in grado di chiarire.

Il più antico e forse celebre di tali paradossi è quello attribuito a Eubulide di Mileto IV secolo a.C., noto anche come paradosso del mentitore, il quale, nella sua forma più semplice, recita:

Il cretese Epimenide afferma che tutti i cretesi sono bugiardi ".

In tale forma, suggerita dalla logica proposizionale, ogni affermazione esprime una descrizione di tipo dicotomico. Al contrario, nella logica predicativa ogni proposizione esprime un insieme di descrizioni simili o di fatti atomici, come nella frase tutti i cretesi sono bugiardi. Si noti che, a rigor di logica bivalente, una formulazione del paradosso contenente tale frase è falsa, in quanto è vera la sua negazione: la negazione di tutti non è nessuno, ma non tutti, quindi non tutti i cretesi sono bugiardi, Epimenide è un bugiardo, ed essendo vera la sua negazione, laffermazione di Epimenide risulterebbe falsa.

Ad ogni modo, il paradosso del mentitore nella sua forma proposizionale appartiene alla classe dei paradossi di autoriferimento. Ogni membro di questa classe presenta una struttura del tipo:

La frase seguente è vera La frase precedente è falsa

o in maniera più sintetica:

Questa frase è falsa

Orbene, la logica aristotelica si dimostra incapace di stabilire se queste proposizioni siano vere o false. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente; ma giacché il paradosso contiene un riferimento a sé stesso, non può assumere un valore che sia ben definito o vero o falso senza autocontraddirsi: ciò implica che ogni tentativo di risolvere la questione posta si traduce in unoscillazione senza fine tra due estremi opposti. Il vero implica il falso, e viceversa.

Secondo Bart Kosko, uno dei più brillanti allievi di Zadeh, infatti, se quanto afferma Epimenide è vero, allora il cretese mente: pertanto, poiché Epimenide è cretese, quindi mente, dobbiamo concludere che egli dice il vero. Viceversa, se laffermazione di Epimenide è falsa, allora il cretese Epimenide non mente, e pertanto si deduce che egli mente. In termini simbolici, indicato con V lenunciato del paradosso di Eubulide, e con v = 0/1 il suo valore di verità binario, si ha, analizzando separatamente i due casi possibili:

  • V f a l s a, v = 0 →! v e r a,! v = 1 → v = 1 −! v {\displaystyle V\,\,\,falsa,\,\,\,v=0\rightarrow!V\,\,\,vera,\,\,\,!v=1\rightarrow v=1-!v}
  • v e r a, v = 1 →! V f a l s a,! v = 0 → v = 1 −! v {\displaystyle V\,\,\,vera,\,\,\,v=1\rightarrow!V\,\,\,falsa,\,\,\,!v=0\rightarrow v=1-!v}

e tenendo presente che, come mostrato in precedenza, il valore di verità di V coincide con quello della sua negazione!V, vale a dire: v=!v, si perviene allequazione logica che esprime tale contraddizione:

v = 1 − v {\displaystyle v=1-v}

la cui soluzione è banalmente data da:

v = 1 / 2 {\displaystyle v=1/2}

Da ciò si deduce finalmente che lenunciato del paradosso non è né vero né falso, ma è semplicemente una mezza verità o, in maniera equivalente, una mezza falsità. Le due possibili conclusioni del paradosso si presentano nella forma contraddittoria A e non-A, e questa sola contraddizione è sufficiente a inficiare la logica bivalente. Ciò al contrario non pone alcun problema alla logica fuzzy, poiché, quando il cretese mente e non mente allo stesso tempo, lo fa solo al 50%. Quanto esposto conferma la sua validità in tutti i paradossi di autoriferimento.

È interessante notare come, ammettendo esplicitamente lesistenza di una contraddizione, la condizione che la traduce venga poi impiegata per determinare lunica soluzione contraddittoria tra le infinite possibili sfumate, cioè a valori di verità frazionari per la questione posta: ciò conferma linsussistenza dei principi di non contraddizione e del terzo escluso nella logica anche se ovviamente rimangono validi parlando di Razionalità Interne Oggettive.

Infatti, nella logica fuzzy lesistenza di circostanze paradossali, vale a dire di situazioni in cui un certo enunciato è contemporaneamente vero e falso allo stesso grado, è evidenziata da ciascuno dei punti dintersezione tra una generica funzione dappartenenza e il suo complemento, avendo necessariamente tali punti ordinata pari a ½. Ciò in quanto il valore di verità della proposizione in questione coincide con il valore di verità della sua negazione.

Gli operatori logici AND, OR e NOT della logica booleana sono definiti di solito, nellambito della logica fuzzy, come operatori di minimo, massimo e complemento; in questo caso, sono anche detti operatori di Zadeh, in quanto introdotti per la prima volta nei lavori originali dello stesso Zadeh. Pertanto, per le variabili fuzzy x e y si ha, ad esempio:

NOT x = 1 − v x) {\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1-vx)} x AND y = m i n v x, v y) {\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=minvx,vy)} x OR y = m a x v x, v y) {\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=maxvx,vy)}

Si è detto che la teoria degli insiemi sfumati generalizza la teoria convenzionale degli insiemi; pertanto, anche le sue basi assiomatiche sono inevitabilmente diverse. A causa del fatto che il principio del terzo escluso non costituisce un assioma della teoria degli insiemi fuzzy, non tutte le espressioni le identità, logicamente equivalenti, dellalgebra booleana mantengono la loro validità anche nellambito della logica fuzzy.

Recentemente si sono sviluppati rigorosi studi della logica fuzzy "in senso stretto", studi che si inseriscono nellantico filone delle logiche a più valori inaugurato da Jan Łukasiewicz si veda ad esempio il libro di Petr Hájek. Tuttavia la logica sfumata, oltre ad avere ereditato le motivazioni filosofiche che hanno dato origine alle logiche a più valori, si inquadra nel contesto più ampio delle metodologie che hanno consentito un marcato rinnovamento dellintelligenza artificiale classica, dando vita al cosiddetto soft computing che ha tra i suoi costituenti principali le reti neurali artificiali, gli algoritmi genetici e il controllo fuzzy.

                                     

2.1. Concetti fondamentali Applicazione a situazioni reali

Una semplice applicazione potrebbe essere la categorizzazione in sotto ranghi di una variabile continua. Per esempio, la misura di una temperatura per un sistema anti-blocco di un impianto frenante potrebbe avere diverse funzionalità a seconda di particolari range di temperature per controllare i freni nella maniera corretta. Ogni funzione mappa un certo range di temperatura, come valori booleani 0 o 1 a seconda che la temperatura sia o meno nel range specifico. Questi valori booleani possono essere utilizzati per determinare la maniera in cui i freni devono essere controllati.

In questa immagine le tre funzioni, freddo in blu, tiepido in arancione, e caldo in rosso sono rappresentate nel diagramma riferite alla comune variabile, la temperatura. Una particolare temperatura assunta dal sistema anti-blocco linea verticale in grigio ha tre valori logici, uno per ciascuna delle tre funzioni. Finché la freccia rossa punta a zero, la funzione caldo non è vera temperatura non calda, con operatori matematici: "NOT hot". La freccia arancione che punta a 0.2 indica che la funzione tiepido è vera solo in piccola parte si può descrivere a parole come "un po tiepido"; al contrario la freccia blu che punta a 0.8 indica che la funzione freddo è abbastanza vera "abbastanza freddo ". La logica fuzzy è stata applicata in molti campi ingegneristici. Applicazioni della logica fuzzy si sono avute soprattutto nello sviluppo tecnologico degli elettrodomestici intelligenti da parte delle industrie giapponesi. Unaltra applicazione reale della logica fuzzy è da pochi anni la logica della diagnosi clinica. In questo campo si è avuto un confronto molto interessante fra logica fuzzy e calcolo delle probabilità.



                                     

3. Fuzzy e probabilità

Per capire la differenza tra logica fuzzy e teoria della probabilità, facciamo questo esempio: Consideriamo un lotto di 100 bottiglie dacqua che ne contiene 5 di veleno. Per la teoria delle probabilità, se prendo una bottiglia dal lotto ho la probabilità pari a 0.95 di pescare una bottiglia contenente acqua. Il risultato dellevento è bivalente: esito positivo 1, oppure negativo 0. In questo caso la logica bivalente esprime in maniera completa il caso e non avrebbe senso utilizzare la logica" sfumata”, in quanto luniverso dei casi possibili si riduce a solo due casi distinti. Adesso svuotiamo in un serbatoio tutte le 100 bottiglie del lotto, avremo una miscela composta per il 95% dacqua e il 5% di veleno. Ora estraiamo dal serbatoio una quantità di miscela pari a una bottiglia. Possiamo ancora parlare di probabilità? Ovviamente no, il risultato sarà deterministico. Possiamo affermare che il liquido che abbiamo estratto sia acqua o veleno? No, sarà una miscela, dunque il risultato non potrà essere bivalente 0 o 1, ma dovrà assumere un valore" sfumato” tra 0 e 1. Alla domanda:" La miscela che ho estratto è acqua o veleno?” Con la logica fuzzy risponderemmo: posso dire che è acqua per un valore pari a 0.95 ed è veleno per un valore pari a 0.05. In effetti non creo una netta separazione tra i due insiemi" acqua” e" veleno”, ma esprimo un valore che mi dice in che misura il mio risultato appartiene allinsieme acqua e allinsieme veleno.

I valori fuzzy possono variare da 0 a 1 come le probabilità ma, diversamente da queste, descrivono eventi che si verificano in una certa misura mentre non si applicano a eventi casuali bivalenti che si verificano oppure no, senza valori intermedi.

I rapporti tra logica sfumata e teoria della probabilità sono estremamente controversi e hanno dato luogo a polemiche aspre e spesso non costruttive tra i seguaci di ambedue gli orientamenti. Da una parte, infatti, i probabilisti, forti di una tradizione secolare e di una posizione consolidata, hanno tentato di difendere il monopolio storicamente detenuto in materia di casualità e incertezza, asserendo che la logica sfumata è nullaltro che una probabilità sotto mentite spoglie, sostenuti in tale convinzione dalla circostanza, da ritenersi puramente accidentale, che le misure di probabilità, al pari dei gradi dappartenenza agli insiemi fuzzy, sono espresse da valori numerici inclusi nellintervallo reale.

Gli studiosi di parte fuzzy, al contrario, hanno mostrato che anche la teoria probabilistica, nelle sue varie formulazioni, è in definitiva una teoria del caso ancora saldamente ancorata a una weltanschauung dicotomica e bivalente.

A questo proposito, Bart Kosko si è spinto fino a ridiscutere il concetto di probabilità così come emerso finora nel corso dellevoluzione storica, sottolineando la mancanza di solidità di tutti i tentativi intesi a fondare la teoria della probabilità su basi diverse da quelle puramente assiomatiche, empiriche o soggettive, e ritenendola un puro stato mentale, una raffigurazione artificiosa destinata a compensare lignoranza delle cause reali di un evento: la probabilità sarebbe in realtà mero istinto di probabilità.

Al contrario, secondo linterpretazione dello stesso Kosko, la probabilità è lintero nella parte, ossia la misura di quanto la parte contiene lintero. La parte può, in effetti, contenere lintero nella misura in cui la sua estensione può sovrapporsi a quella dellinsieme universale. Questa concezione comporta unaffermazione apparentemente singolare, quella per cui la parte può contenere lintero, non soltanto nel caso banale in cui la parte coincide con lintero; infatti, loperatore di contenimento non è più bivalente, ma è esso stesso fuzzy e può pertanto assumere un qualunque valore reale compreso tra 0 non contenimento e 1.

Su questa base, egli può finalmente concludere che la teoria degli insiemi sfumati contiene e comprende quella della probabilità come suo caso particolare; la realtà sarebbe pertanto deterministica, ma sfumata: la teoria del caos ne ha evidenziato la componente determinista, mentre la teoria fuzzy ha mostrato limportanza del principio dell homo mensura già espresso da Protagora.