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ⓘ Arcocoseno. In matematica, in particolare in trigonometria, l arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biie ..




                                     

ⓘ Arcocoseno

In matematica, in particolare in trigonometria, l arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nellintervallo }.

                                     

1. Notazione

La notazione matematica dellarccoseno è arccos {\displaystyle \arccos } ; è comune anche la scrittura cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}}. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

                                     

2. Proprietà

Larcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nellintervallo.}

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto 0, π 2 {\displaystyle \left0,{\frac {\pi }{2}}\right}, essendo arccos ⁡ x = π − arccos ⁡ − x {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left-x\right}.

La derivata della funzione arcocoseno è:

d x arccos ⁡ x = − 1 − x 2. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}

La serie di Taylor corrispondente è:

arccos ⁡ x = π 2 − ∑ k = 0 ∞ − 1 2 k − 1 k x 2 k + 1 2 k + 1 = π 2 − x − 1 6 x 3 − 3 40 x 5 − 5 112 x 7 − ⋯. {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}-1^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots.}

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

arccos ⁡ − x = π − arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos \left-x\right=\pi -\arccos x}.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in unespressione dove larcocoseno figura una volta sola:

arccos ⁡ x 1 + arccos ⁡ x 2 = { arccos ⁡ x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 x 1 + x 2 ≥ 0 2 π − arccos ⁡ x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 x 1 + x 2 < 0 {\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \leftx_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \leftx_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right&x_{1}+x_{2}