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ⓘ Matrice delle probabilità di transizione. La matrice di transizione o matrice di Markov per un processo markoviano discreto è la matrice generata dalle probabil ..




                                     

ⓘ Matrice delle probabilità di transizione

La matrice di transizione o matrice di Markov per un processo markoviano discreto è la matrice generata dalle probabilità di transizione in k passi:

P n k:= {\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{k}:={\begin{bmatrix}P_{0.0}^{n,k}&\cdots &P_{0,N}^{n,k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\P_{N,0}^{n,k}&\cdots &P_{N,N}^{n,k}\end{bmatrix}}}

Dove N è la cardinalità dellinsieme degli stati e n è listante attuale. Costituisce quindi una variante della matrice delle adiacenze per i grafi semplici.

                                     

1. Proprietà

Le proprietà delle matrici delle probabilità di transizione derivano direttamente dalla natura degli elementi che le compongono. Infatti, osservando che gli elementi della matrice sono delle probabilità, essi devono avere un valore compreso tra 0 e 1. Inoltre, pensando al significato di ogni elemento e al fatto che una catena di Markov deve trovarsi sempre in uno tra gli stati ammissibili, risulta evidente che la somma, fatta sugli stati di arrivo, delle probabilità di transizione da uno stato i, in un qualsiasi numero k di passi, debba essere unitaria:

∑ j ∈ S P i, j n, k = 1 {\displaystyle \sum _{j\in S}P_{i,j}^{n,k}=1}

dove con S {\displaystyle S} è stato indicato linsieme degli stati ammissibili per la catena di Markov. Quindi la matrice delle probabilità di transizione risulta essere una matrice stocastica, cioè una matrice in cui la somma degli elementi di ogni colonna è unitaria.

Un altro risultato molto importante è il fatto che la matrice delle probabilità di transizione in k passi può essere calcolata agevolmente da quelle ad un passo mediante la produttoria delle matrici delle probabilità di transizione in un passo:

P n k = ∏ l = 1 k P n + l 1 {\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{k}=\prod _{l=1}^{k}\mathbf {P} _{n+l}^{1}}

Nel caso semplificato dei processi di Markov omogenei, nei quali la dipendenza dal tempo sparisce, la matrice delle probabilità di transizione in k passi si ottiene come elevamento alla k -esima potenza della matrice delle probabilità di transizione ad un passo.

                                     
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