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ⓘ Rapporto tra arte e matematica. Il rapporto tra arte e matematica non appare a prima vista evidente, ma gli intrecci le convergenze fra queste due sfere della c ..




Rapporto tra arte e matematica
                                     

ⓘ Rapporto tra arte e matematica

Il rapporto tra arte e matematica non appare a prima vista evidente, ma gli intrecci le convergenze fra queste due sfere della cultura umana sono stati nel corso della storia numerosi, profondi e fecondi. La matematica è stata descritta come unarte motivata dalla bellezza, e può essere riconosciuta in arti come la musica, la danza, la pittura, larchitettura, la scultura, e la moda. Questo articolo si concentra, tuttavia, sulla presenza della matematica nelle arti visive.

                                     

1.1. DallAntichità al Rinascimento Il Canone di Policleto

Nellantica Grecia il modello della figura umana era il dio Apollo, che rappresentava la bellezza ideale. Era bello perché il suo corpo si conformava a certe leggi della proporzione sottostanti alla divina "bellezza" della matematica. Ma i più antichi nudi dellarte greca arcaica sono rigidi e i passaggi tra le varie parti dei loro corpi sono goffi ed improvvisi e hanno una strana piattezza.

A poco a poco, nel VI secolo a.C., si svilupparono i modelli che dovevano soddisfare il nostro concetto occidentale di bellezza. Il primo canone dettato da ferree leggi geometriche è quello, famosissimo, del Doríforo di Policleto V secolo a.C. che, ancor oggi, è preso come modello ideale dalla maggior parte degli artisti. Policleto diceva che "un lavoro ben fatto è il risultato di numerosi calcoli che arrivano fino allo spessore di un capello".

Le idee sulle perfette proporzioni del corpo umano furono compendiate dallo scultore in un trattato, il Canone, di cui, purtroppo, sono arrivati sino a noi solo tre frammenti. Secondo il canone policleteo ogni elemento del corpo umano doveva essere rappresentato proporzionalmente a tutti gli altri. In particolare, la testa doveva essere circa 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} dellintero corpo, il busto doveva corrispondere a tre teste le gambe a quattro infatti: 1 + 3 + 4 = 8 {\displaystyle 1+3+4=8}. Il canone proporzionale greco era quindi diverso da quello egizio. Gli egizi possedevano dei reticoli a maglie quadrettate uguali che prescrivevano misure quantitative fisse. Nel Canone di Policleto, invece, non ci sono più unità fisse: la testa starà al corpo come il corpo starà alle gambe, e così via.

Alcuni studiosi sostengono che il pensiero pitagorico abbia influenzato il Canone di Policleto. Il Canone applica i concetti basilari della geometria greca, come la misura, la proporzione e la simmetria, e la volge in un sistema capace di descrivere la figura umana attraverso una serie di progressioni geometriche continue.

                                     

1.2. DallAntichità al Rinascimento Il canone di Lisippo

Gli artisti del Rinascimento seguirono, comè logico, i canoni dei Greci, ed in particolare diedero la preferenza a quello di Lisippo, tramandatoci nellopera di Vitruvio. In questo canone il modulo è laltezza della testa, le regole sono le seguenti:

  • Linsieme dellaltezza della testa e del collo corrisponde alla lunghezza del piede, e ad un sesto dellaltezza del corpo.
  • Laltezza della faccia, dalla base del mento alla linea dimpianto dei capelli, è uguale alla decima parte dellaltezza del corpo.
  • Laltezza totale della testa è uguale allottava parte dellaltezza del corpo.
  • Laltezza della faccia si divide in tre parti uguali: una compresa fra il mento e la base del naso; una seconda fra la base e la radice del naso; ed una terza fra la radice del naso e limpianto dei capelli.
  • Laltezza del corpo è uguale alla dimensione della braccia aperte in croce.
  • Lombelico si trova al centro del corpo.

Leonardo da Vinci seguì la regola di Lisippo secondo cui laltezza della testa è uguale allottava parte dellaltezza totale del corpo. Albrecht Dürer compose un trattato delle proporzioni del corpo umano, assai complicato ed oscuro; e numerosi altri artisti si occuparono di questo problema per esempio Lodovico Dolce, nel Dialogo della pittura del 1577.

                                     

1.3. DallAntichità al Rinascimento La sezione aurea

Il modulo, il canone e la sezione aurea costituiscono i modelli o paradigmi su cui si regge larte classica. La sezione aurea, in particolare, è la divisione di un segmento in due parti tali che la parte maggiore sia medio proporzionale fra lintero segmento e la parte minore. In forma algebrica, il numero aureo Φ {\displaystyle \Phi } equivale a 1 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}, in quella decimale a ≈ 1, 618 {\displaystyle \approx 1.618}. Platone, nel Timeo, descrive cinque possibili solidi regolari i solidi platonici, alcuni dei quali sono correlati alla sezione aurea. Ma sarà Euclide a darne una prima definizione negli Elementi.

La presenza del numero aureo è stata considerata fin dallAntichità come caratteristica di armonia. Per questo il numero aureo è stato utilizzato nellarte, nellarchitettura, nella musica, ed è stato ricercato nei fenomeni naturali:

  • La Grande moschea di Qayrawan costruita nel 670 d.C. circa, in Tunisia, presenta la sezione aurea.
  • Secondo vari piramidologi, tra cui Charles Funck-Hellet, la Grande Piramide di Giza costruita nel 2570 a.C. circa mostra la sezione aurea. John F. Pile, professore di interior design e storico, afferma che "gli egiziani la conoscevano e certamente la usavano".
  • La Basilica di San Vitale a Ravenna, Castel del Monte, la Cattedrale di Chartres e il Palazzo della Signoria, presentano tutti riferimenti alla sezione aurea.
  • Nella facciata del Partenone V secolo a.C., il principale tempio dellacropoli di Atene, si possono trovare diversi rettangoli aurei.
  • La si può riconoscere in opere darte come la Gioconda di Leonardo.

Un altro rapporto venne chiamato nel 1928 dallarchitetto olandese Hans van der Laan "numero plastico". Il suo valore è la soluzione dellequazione cubica x 3 = x + 1 {\displaystyle x^{3}=x+1}, ed è uguale a ≈ 1, 325 {\displaystyle \approx 1.325}. Van der Laan usò questo valore mentre progettava, nel 1967, lAbbazia di San Benedictusberg.



                                     

1.4. DallAntichità al Rinascimento Il De divina proportione

È con Luca Pacioli e il suo trattato De divina proportione del 1509, che la sezione aurea entra a pieno titolo nellorbita artistica e viene consacrata come canone estetico di armonia e bellezza. Lopera comprende anche una sezione di architettura tratta da Vitruvio e una sui poliedri regolari, ripresa da Piero della Francesca e illustrata da Leonardo da Vinci. Leonardo è anche lautore del celeberrimo "uomo ideale"; le proporzioni ideali del corpo umano derivanti da questa figura corrispondono al rapporto aureo fra il lato del quadrato e il raggio del cerchio.

                                     

1.5. DallAntichità al Rinascimento Linvenzione della prospettiva

Secondo la definizione della geometria descrittiva, la prospettiva è "la scienza che insegna a rappresentare gli oggetti tridimensionali su una superficie bidimensionale, in modo che limmagine prospettica e quella data dalla visione diretta coincidano".

Durante la classicità, piuttosto che rimpicciolire le figure distanti con la prospettiva lineare, i pittori dimensionavano oggetti e personaggi secondo la loro importanza tematica. Il che non esclude che si verificassero tentativi di resa prospettica nellarte: sappiamo per esempio da un controverso passo di Vitruvio che i Greci conoscevano metodi di realizzazione prospettica delle scene teatrali, uneco dei quali si può rintracciare nei dipinti pompeiani non sembra comunque, che gli antichi abbiano conosciuto i sistemi prospettici scoperti in età rinascimentale.

Nel Medioevo, il matematico arabo Alhazen Ibn al-Haytham descrisse una teoria dellottica nel suo Libro dOttica del 1021, ma non la applicò mai allarte. Giotto, tramite lutilizzo di una "prospettiva" e luso sapiente dei colori e del chiaroscuro, conferì alle proprie pitture una verosimiglianza, un volume e un taglio nuovi e sconvolgenti.

Il Rinascimento vide una rinascita della cultura e delle idee greco-romane, tra cui lo studio della matematica per comprendere la natura le arti. Furono due i motivi che spinsero gli artisti nel tardo Medioevo e nel Rinascimento verso la matematica. Primo, i pittori volevano capire come ritrarre scene tridimensionali su tele bidimensionali. Secondo, i filosofi e gli artisti erano convinti che la matematica fosse la vera essenza del mondo fisico e che lintero universo, tra cui le arti, potesse essere spiegato in termini geometrici.

Nel 1415, larchitetto italiano Filippo Brunelleschi e il suo collega Leon Battista Alberti dimostrarono il metodo geometrico di applicazione della prospettiva, usando la similitudine dei triangoli come formulata da Euclide, per trovare lapparente differenza di altezza degli oggetti distanti. I dipinti di Brunelleschi che mostrano la prospettiva sono andati perduti, ma la Trinità di Masaccio ne esemplifica i principi. Si citano anche Paolo Uccello, Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, tra molti altri.

                                     

1.6. DallAntichità al Rinascimento I poliedri

I solidi platonici e altri poliedri sono un tema ricorrente nellarte occidentale. Sono stati trovati:

  • Come un rombicubottaedro nel ritratto di Pacioli del 1495, eseguito da Jacopo de Barbari.
  • Come illustrazioni del De divina proportione di Luca Pacioli, realizzate da Leonardo da Vinci.
  • In un mosaico marmoreo che mostra il piccolo dodecaedro stellato, attribuito a Paolo Uccello, nel pavimento della Basilica di San Marco a Venezia.
  • Come poliedro troncato e vari altri oggetti matematici presente nellincisione Melencolia di Dürer. Dürer fu probabilmente influenzato dalle opere di Pacioli e Piero della Francesca durante i suoi viaggi in Italia.
                                     

2.1. DallEtà moderna a oggi Dalla prospettiva alla geometria proiettiva

La teoria della prospettiva venne insegnata nelle scuole di pittura, a partire dal Cinquecento in poi. I trattati sulla prospettiva di allora, tuttavia, erano nel complesso un insieme di regole e di procedimenti ad hoc e mancavano di una solida base matematica. Nel periodo compreso fra il Cinquecento e il Seicento, gli artisti e poi i matematici diedero a questa teoria una base deduttiva soddisfacente e la trasformarono da arte semiempirica in scienza vera e propria. Agli inizi del Seicento, si avviò un processo di scissione tra creazione artistica e prospettiva, divenuta ormai oggetto di indagine matematica. Al termine di questo processo, dai procedimenti matematici scaturiti dalla tecnica della prospettiva si svilupperanno la geometria descrittiva a opera di Gaspard Monge e la geometria proiettiva a opera di Girard Desargues. Lintento sarà quello di aiutare gli ingegneri, i pittori e gli architetti nel loro lavoro. Opere definitive sulla prospettiva saranno scritte dai matematici settecenteschi Brook Taylor e Johann Heinrich Lambert.



                                     

2.2. DallEtà moderna a oggi Lanamorfosi

A partire dal Quattrocento, gli artisti interessati alle distorsioni visive cominciarono ad applicare lanamorfosi fenomeno ottico consistente in una deformazione dellimmagine.

Lanamorfosi piana è ottenuta con una semplice alterazione prospettica, in cui le immagini le immagini deformate sono decifrabili sono se osservate da un determinato punto di vista, mai frontale. Essa compare per la prima volta nel Codice Atlantico di Leonardo e fu ampiamente praticata dai manieristi del secondo Cinquecento, tra gli altri dal pittore e incisore tedesco Erhard Schön e da Hans Holbein nel noto dipinto Gli ambasciatori.

Lanamorfosi per riflessione riproduce allinverso le deformazioni che si hanno guardando limmagine in uno specchio concavo o convesso; in questo caso limmagine ritrova il suo aspetto normale se viene guardata con lausilio di uno specchio cilindrico o conico. Le origini di questo tipo di anamorfosi sono forse da individuare nelle stampe cinesi giunte in Europa tramite la corte di Costantinopoli. Nel Ritratto dei coniugi Arnolfini di Jan van Eyck, realizzato nel 1434, vi è uno specchio convesso che riflette le persone presenti nella scena, mentre in Autoritratto entro uno specchio convesso del Parmigianino, lartista ritrae la propria faccia regolare al centro, e con uno sfondo e la mano fortemente curvati.

                                     

2.3. DallEtà moderna a oggi Gödel, Escher, Bach

Douglas Hofstadter è lautore di Gödel, Escher Bach. Uneterna ghirlanda brillante, opera che vede intrecciarsi – ad un primo livello di lettura – le opere le intuizioni di queste tre personalità storiche: "Ma infine mi resi conto che per me Gödel, Escher e Bach erano solo ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche solida essenza centrale. Ho tentato di ricostruire loggetto centrale ne è uscito questo libro". Dallopera di Hofstadter è possibile trarre svariati esempi di come logica e matematica possano avere punti di contatto con le incisioni di Escher. Nelle opere dellartista nato nel 1898 in Frisia, di evidente ispirazione matematica, sono rintracciabili il concetto di limite e continuità, le figure impossibili di Penrose, gli echi di studi di topologia e cristallografia, le tassellazioni, la geometria iperbolica del modello di Poincaré, il nastro di Möbius, le trasformazioni nella continuità, lambiguità del concavo e del convesso, in concetto di infinito e di percorso infinito.

                                     

2.4. DallEtà moderna a oggi Tassellazioni del piano

In geometria, con "tassellazione del piano" o "pavimentazione" si intende il ricoprimento del piano con figure geometriche, dette "tasselli" o "moduli", che si ripetono periodicamente senza mai sovrapporsi. Nel 1891 il geologo e cristallografo russo Evgraf Stepanovič Fedorov dimostrò che sono possibili solo diciassette tipi di tassellazioni del piano. Essi sono stati tutti realizzati nelle decorazioni dellAlhambra complesso di palazzi situato a Granada, in Spagna dagli Arabi.

Comunque, altrettanto famose sono le tassellazioni di Escher, come Studio di divisione regolare del piano con uccelli da un quaderno del 1942, o Limite del cerchio IV 1960. Questultima, in particolare, è una rappresentazione eseguita in geometria iperbolica.