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ⓘ Teorema della racchetta da tennis. Il teorema della racchetta da tennis o teorema dellasse intermedio è un risultato della meccanica classica che descrive il mo ..




Teorema della racchetta da tennis
                                     

ⓘ Teorema della racchetta da tennis

Il teorema della racchetta da tennis o teorema dellasse intermedio è un risultato della meccanica classica che descrive il movimento di un corpo rigido con tre diversi momenti principali di inerzia. Viene anche chiamato effetto Džanibekov, per il cosmonauta russo Vladimir Džanibekov che si accorse di una delle conseguenze del teorema nello spazio nel 1985 sebbene leffetto fosse già noto almeno 150 anni prima ed era ben descritto in testi di meccanica classica coevi e noti a Džanibekov. Un articolo che spiega questo effetto fu pubblicato nel 1991.

Il teorema descrive il seguente effetto: la rotazione di un oggetto intorno al suo primo e terzo asse principale è stabile, mentre la rotazione intorno al suo secondo asse o asse intermedio non lo è.

Ciò può essere dimostrato con il seguente esperimento: si tenga una racchetta da tennis nel suo manico, con la faccia orizzontale; si cerchi di lanciarla in aria in modo tale da farle fare una rotazione completa intorno allasse orizzontale, perpendicolare al manico, e si cerchi di prendere il manico. In quasi tutti i casi, durante la rotazione, anche la faccia compirà una mezza rotazione, cosicché la faccia inizialmente rivolta verso lalto, diventa rivolta verso il basso. Per contrasto, è facile lanciare la racchetta facendola ruotare intorno allasse del manico o allasse verticale perpendicolare al manico rispettivamente il terzo asse principale e il primo senza che avvenga una mezza rotazione aggiuntiva intorno a un altro asse.

Lesperimento può essere effettuato con un qualsiasi oggetto dotato di tre momenti di inerzia, ad esempio con un libro, un telecomando, o un cellulare. Leffetto ha luogo quando lasse di rotazione differisce anche leggermente dal secondo asse principale delloggetto; la resistenza dellaria e la gravità non sono necessarie.

                                     

1. Teoria

Il teorema può essere analizzato qualitativamente con laiuto delle equazioni di Eulero. Nella condizione di momento meccanico nullo, assumono la seguente forma:

I 1 ω 1 = I 2 − I 3 ω 2 ω 3 1 I 2 ω 2 = I 3 − I 1 ω 3 ω 1 2 I 3 ω 3 = I 1 − I 2 ω 1 ω 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=I_{2}-I_{3}\omega _{2}\omega _{3}\qquad {\text{1}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=I_{3}-I_{1}\omega _{3}\omega _{1}\qquad {\text{2}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=I_{1}-I_{2}\omega _{1}\omega _{2}\qquad {\text{3}}\end{aligned}}}

Qui I 1, I 2, I 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} indicano i principali momenti di inerzia delloggetto, e si assume che I 1 > I 2 > I 3 {\displaystyle I_{1}> I_{2}> I_{3}}. ω 1, ω 2, ω 3 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}} indicano le velocità angolari intorno ai tre assi principali le loro derivate temporali sono indicate da ω 1, ω 2, ω 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}.

                                     

1.1. Teoria Rotazione stabile intorno al primo e al terzo asse principale

Si consideri la situazione in cui loggetto ruota intorno allasse con momento dinerzia I 1 {\displaystyle I_{1}}. Per determinare la natura dellequilibrio, si assumano le velocità angolari iniziali lungo gli altri due basse. Di conseguenza, secondo lequazione 1, ω 1 {\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}} è molto piccola. Pertanto, la dipendenza temporale di ω 1 {\displaystyle ~\omega _{1}} può essere trascurata.

Ora, derivando lequazione 2 e sostituendo ω 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}} dallequazione 3, si ottiene

I 2 I 3 ω ¨ 2 = I 3 − I 1 I 1 − I 2 ω 1 2 ω 2 ⟹ ω ¨ 2 = quantità negativa ⋅ ω 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=I_{3}-I_{1}I_{1}-I_{2}\omega _{1}^{2}\omega _{2}\\\implies {\ddot {\omega }}_{2}&={\text{quantità negativa}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}

Si noti che ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} viene contrastata e quindi la rotazione intorno a questo asse è stabile.

Ragionamenti simili portano a concludere che anche la rotazione intorno a I 3 {\displaystyle I_{3}} sia stabile.

                                     

1.2. Teoria Rotazione instabile intorno al secondo asse principale

Ora si applichi la stessa analisi allasse con momento dinerzia I 2 {\displaystyle I_{2}}. Questa volta è ω 2 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}} ad essere molto piccola. Pertanto la dipendenza temporale di ω 2 {\displaystyle ~\omega _{2}} può essere trascurata.

Ora, derivando lequazione 1 e sostituendo ω 3 {\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}} dallequazione 3, si ottiene

I 1 I 3 ω ¨ 1 = I 2 − I 3 I 1 − I 2 ω 2 ω 1 ⟹ ω ¨ 1 = quantità positiva ⋅ ω 1 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=I_{2}-I_{3}I_{1}-I_{2}\omega _{2}^{2}\omega _{1}\\\implies {\ddot {\omega }}_{1}&={\text{quantità positiva}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}

Si noti che ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} non viene contrastata aumenterà con il tempo e quindi la rotazione intorno al secondo asse è instabile. Pertanto anche una piccola perturbazione lungo gli altri assi porta loggetto a ribaltarsi.